15.2  多面体的直观图 第三课时

上海市曹杨中学 蔡真逸

教材分析

本节课是上教版第15章“简单几何体”的第二节“多面体的直观图”的第三课时，着重介绍了平面截多面体的定义和以正方体为载体介绍了平面截多面体的截面的作法以及作图依据．本课时内容在立体几何教学中有着承前启后的作用．

1. 承接第14章，体现公理的应用

    在第14章“空间直线与平面”的教学中，已经介绍了立体几何中的三个公理．在本课时中，以三个公理作为平面截多面体截面的理论依据．

1.1  公理3是截面存在的理论基础

由公理3可知，已知过多面体表面上不共线的三个点可以确定一个平面，那么这个平面与多面体的各表面的交线所围成的平面图形就叫做平面截多面体的截面，公理3保证了截面的存在．

1.2 公理1和公理2是作截面的理论依据

由截面的定义可知，作截面的关键在于作出平面与多面体的各表面的交线，由公理1和公理2，可知若两个不同的平面有两个公共点，那么这两个平面的公共部分是过这两点的直线，因此作交线的关键是找出平面与多面体各表面的两个公共点，那么为了找出这两个公共点，学生就会想到延长棱等作法．

本课时以作平面截多面体的截面为载体，很好地体现了立体几何3个公理在操作作图中的综合应用，使学生切身体会出三个公理的在其中的作用．

 

2. 承接第14章，具体展现空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

在第14章“空间直线与平面”的教学中，已经介绍了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．在本课时的教学中，通过作截面能很好地展现出这些位置关系．

2.1 精确认知正方体中的点、线、面的位置关系

在寻找平面与多面体各表面的两个公共点时，要延长棱，找到与已作的交线的公共点，这就需要学生对空间直线与平面、直线与直线的位置关系有较高的认识，精确认知正方体中各表面所在平面中哪些是与已作交线相交、平行，从而精确认知正方体的各条棱所在直线中哪些是与已作交线异面、相交、平行．只有完全掌握这些知识，学生才能找到那条需要延长的棱，否则会延错棱，交出一个实际状况中不存在的交点．

2.2 精确认知平面与平面平行的性质定理

在探究截面形状为平面四边形时，学生可能会想到利用做平行线作出截面，这就需要学生掌握平面与平面的位置关系及相关性质，说出这种作法的理论依据——用一个平面截一组平行平面所得的交线相互平行．并通过平面与平面的位置关系，指出所得平面四边形的具体形状．

因此，本课时在作截面的过程中，能具体地展现出空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，使学生在自己动手操作中自主反馈出对这些位置关系的掌握程度，同时，在操作中加深学生对这些位置关系的认知与理解，继续建立学生的空间感．

 

3. 引出截面、交线的概念，为祖暅原理、球面距离、圆锥曲线的教学打下理论基础

在本课时的教学中，引出了截面、交线的概念．在祖暅原理的学习中，学生必须具备截面的概念；在球面距离的教学中，学生必须要求大小圆的概念（大小圆可以看作平面与球面的交线，当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆），搞清这些概念后，学生才能精确地认知球面距离的概念；在圆锥曲线的教学中，需要介绍圆、椭圆、双曲线、抛物线为什么被称为圆锥曲线，这就要有平面截圆锥面的概念，进而讨论圆锥曲线与圆锥之间的关系．

 

4. 建立运动与变化的观点，为旋转体的教学打下铺垫

平面截多面体的截面的形状由平面与多面体的相对位置而定，因此由公理3，可将两个点固定下来，移动第三个点，使平面随着第三个点的不同而运动，从而截出三角形等不同形状的平面图形．这就让学生在静态的几何体中感受到了运动的变化，吸引学生的注意，引发学生学习数学的兴趣．

在这变化的直观感受中，这个平面就像绕着两个固定点所成直线在旋转，如同门绕着轴开关一样，这种绕轴旋转的想法，为下一节学习圆柱、圆锥、球等旋转体打下了铺垫，使学生在之后的学习中易于接受并能想象出旋转体是某一平面图形绕着某一条直线旋转而成的．

 

5. 埋伏割补法的思想，为简单几何体表面积、体积的教学埋下伏笔

在形成截面概念的过程中，需要切实切开一个正方体，使学生切实感受截面的概念，这一切开的过程就是分割思想；在将这两个几何体合并，形成一个正方体时，这一合并的过程就是补体思想，这便埋伏了割补法的思想．

5.1 割补法在祖暅原理中的应用

在祖暅原理的教学中，学生必须要有平面截多面体截面的概念，在祖暅原理的理解中，学生必须要有割补法的思想，即感悟出简单几何体可以看成一组平行于底面的截面堆积而成的想法，这样才能体会出祖暅原理的本质，从而理解简单几何体的体积公式．

5.2 割补法在求斜棱柱表面积、体积中的应用

在求斜棱柱表面积和体积的教学中，有一种方法称为直截面法，即作出一个与棱柱的各棱都垂直的截面，再将两个几何体分割再移动合并，转化为直棱柱，从而利用直棱柱的表面积、体积公式求解，这就利用了截面这个工具与割补法思想．

5.3 割补法在推导棱锥的体积公式中的应用

在推导棱锥的体积公式的过程中，我们也是使用割补法，将棱锥分割成个三棱锥，而后使用三棱锥的体积公式推导．在本章“阅读材料——中国数学史中的体积计算”也介绍了使用割补法求诸如阳马、鳖臑等几何体的体积．

   

6. 体现转化与化归的思想，贯穿于整个高中数学教学

在本节课的教学中，作平面截多面体的截面的关键在于找出平面与多面体各表面的交线，找交线的关键在于找到处于同一表面的两个公共点，在这个过程中，需要联结同一表面上的两点并延长，找到交线，然后通过找到交线与多面体棱的交点，将作图的表面转化到另一个点所处的表面，而后重复上述过程，直至交线围成一个封闭图形为止，这体现了转化与化归的思想．在本节课的教学中，通过作平面截多面体的截面这一载体，能很好地体现出这一贯穿于高中数学始终的基本思想．

 

学情分析

在学习本课时内容前，学生已经学习了第14章和第15章第1节的全部内容．

1. 知识基础

通过第14章的学习，学生已经了解了三个公理，知道不共线的三个点可以确定一个平面、如果两个不同的平面有两个公共点，那么这两个平面的公共部分是过这两点的直线等结论，且能够利用三个公理进行简单的证明，具有一定的推理能力．

通过第14章的学习，学生对空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断与性质有一定的认识，且能直观感知它们的位置关系，具备一定的想象基础，从而为学生理解截面的概念和掌握作平面截多面体的截面的作法起到了积极作用．

通过第15章第1节“多面体的概念”的学习，学生已经了解了多面体、多面体的表面等相关概念．

2. 认知基础

在所有多面体中，学生最为熟悉的是正方体和长方体，因此当理解了在正方体中作截面的作图原理，学生就能迁移至作平面截其余多面体的截面．

同时，平面截多面体的截面的概念在生活中也能找到现实模型，如切豆腐、切石膏等，学生对这些例子都很熟悉，这使学生在学习本课内容时不会感到陌生，在直观上也易于接受．

 

教学设计

1. 总体设计

1.1 以动态变化为研究线索

由于截面的内容大多是以动态的形式呈现在之后的学习过程中，如祖暅原理、圆锥曲线与圆锥的关系、大圆小圆的概念等，所以在教学设计时，我试图以一个点的变化引发的截面形状的不同作为主线，动态地探究平面截正方体截面的所得形状，从三角形开始，到梯形、矩形，再到平面六边形、平面五边形，在运动的视角下感受截面形状的变化过程．

1.2 以正方体为研究载体

由于正方体是学生最为熟悉的多面体，所以从平面截正方体的截面入手研究符合学生的认知．在探究截面形状的不同时，学生需要自己动手作图画截面，在操作中，学生逐步感悟出在作图中不变的关键点，从而掌握作平面截正方体截面的一般方法，而后迁移至平面截其余多面体的截面．

2. 各教学环节设计

2.1 问题引入，形成概念

引例所给的已知三点都是在棱上且平面截正方体的截面为三角形的简单情况，问题让学生作出与正方体的交线，并说明作图依据，这要求学生能利用之前的所学的3个公理进行演绎论证，说出作法背后的理论依据．之后通过询问平面将正方体分割成怎么样的两个多面体，并用微视频演示，让学生体会“截面”中“截”的含义，顺势给出平面截多面体截面的定义．在询问分割成怎么样的两个多面体时，在微视频的演示中切实将正方体分割成两部分，这就给割补法的想法埋下伏笔．

2.2 问题设计，引发兴趣

随后，抛出平面截正方体所得截面的形状有哪些这个问题，让学生思考．学生根据经验可以知道平面截多面体的截面的形状肯定是随着平面的变化而变化的，但到底有哪些形状，是不是可以截出任意平面多面形，学生是没有思考过的，这个问题就能引发学生的兴趣与思考．于是便能顺理成章地以这条探究线索展开教学．为了探究方便起见，我们固定两个点，变化第三个点的位置，从而使平面绕着固定直线旋转起来，以方便我们讨论各种截面的情况．

2.3 问题探究，掌握作法

探究1中，学生可以想到这个截面不是三角形，那么它是什么形状呢？学生就需要自己动手进行作图．在作图过程中预想学生会作平行线和延长公共棱两种作法，作平行线的想法需要对平面与平面平行的性质定理有很好地认识，从而说明作图的正确性；延长公共棱的想法则是观察引例，找到两者的异同，进行作图．在说明作图的正确性时，要点出点和点是处于同一个正方体表面这一关键点．最后，询问四边形是否为空间四边形，具体是什么形状的，回顾总结第14章的相关知识，突显数学的严谨性．

探究2中，截面的形状又发生了变化，学生能感知截面形状是发生了变化，但具体变成什么图形，学生需要更进一步地探索．多数学生能找到点，但之后的作图可能会陷入茫然．这时我预计可先暂停探索这种情况，先进行探究3的讨论，这时的截面情况就很容易作出了，只要找到关键的点，就能作出截面形状为平面五边形，与探究1不同的是需要两条公共棱．然后再回到探究2，观察其余探究3的异同，就能得到需要找出关键的点三个点，从而得出截面是一个平面六边形．在这一过程中，学生体现了对直线与平面位置关系的认识，完善空间感，逐步体会转化与化归思想．（若学生在探究2中，能说出延长或则与学生一同讨论探究下去．）

最终在完成所有的探究后，回答之前抛出的问题，并使用微视频演示，通过逐步移动点而产生的截面形状不同的动态过程，加深学生的理解，建立运动与变化的观点．并在之后询问平面截正方体的截面会不会有平面七边形、平面八边形等情况，这就要求学生回到平面截多面体的定义，通过定义思考问题，可得不会出现其余形状．

随后，与学生一同总结，帮助学生回顾探究中的作图过程，概括出平面作正方体截面的作法，并指出作图过程的几个关键想法，即要作截面就需要找到平面与各表面的交线、要找到交线就需要找到两个处于同一表面上的两个点，让学生遇到问题时有的放矢．

2.4 问题迁移，领悟内涵

通过三棱柱和四面体的作截面练习，帮助学生从平面截正方体的截面的作法迁移至平面截其余多面体的截面的作法，让学生了解作法的一般性．

2.5 课堂小结，总结提升

最后，进行课堂小结，指出本节课的重点内容，将问题“已知平面过正方体的中心，那么平面截正方体可能会得到哪些形状的截面？”作为课后思考，供学生课后回味．本问题实质也是要求学生能以运动与变化的观点，将平面绕着过正方体中心的某条直线旋转，然后探究不同位置的平面与正方体的截面形状，这与本节课的探究想法一致的．

2.6 课后作业，巩固反馈

作业设计中，涉及的多面体有正方体、三棱柱、四面体，截面形状有三角形、平面四边形、平面五边形、平面六边形，要求学生继续熟悉作平面截多面体截面的作法，同时要求学生仔细审题，看清题干所给点处于多面体哪个表面，继续培养学生的空间感．在拓展题第5题中，题干所给三个点位于正方体三条异面的棱上，无法直接联结同一表面上的两个点，学生直接上手肯定不会做，所以我设计了两个小问，引导思考，由第1小问进行铺垫，将问题转化与化归为有两个点处于同一表面的情况，这样就能通过课堂总结的方法解决问题．

 

 

【教学目标】

1. 理解平面截多面体截面的概念，会作平面截多面体的截面；

2. 通过探究点的位置变化对截面形状的影响，掌握作平面截多面体截面的作法；

3. 经历对截面形状的探究过程，建立运动与转化的观点，体会转化与化归的思想，完善学生的空间感，培养学生的学习兴趣．

【教学重点】理解平面截多面体截面的概念，掌握平面截多面体的截面的作法．

【教学难点】在点的位置的变化中概括出作平面截多面体截面的作法．

 

【教学过程】

一． 问题引入，形成概念

引例： 如图1，已知正方体，，，，作出由点确定的平面与正方体表面的交线，并说明作图依据．

图1

【解答】

作法：联结，直线就是平面与正方体表面的交线，如图2．

理论依据：因为，，由公理1和公理2可知，直线是平面与平面的交线．

同理，直线是平面与平面的交线；直线是平面与平面的交线．

 

【教师点拨】我们借助立体几何中的公理1和公理2，说明了我们作图所得结果的正确性．同时，注意交线是直线．

【教师追问】试说明平面将正方体分割为怎么样的两个多面体？

【预设学生回答】一个四面体，一个七面体．

【微视频演示】微视频演示正方体分割为一个四面体，一个七面体的过程，及这个四面体与七面体合并为正方体的过程．

【教师点拨】平面就相当于一把刀，过点切割这个正方体，所得的这个切口称为截面，可以发现这个截面各边的所在直线就是平面与正方体表面的交线．

 

【定义】一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线所围成平面图形称为平面截多面体的截面．

【教师点拨】定义指出，截面是一个封闭的平面图形，截面的各边所在直线是平面与多面体各表面的交线，所以作平面截多面体的截面就需要找平面与多面体各表面的交线．在引例中这个截面为三角形．

 

二． 问题设计，引发兴趣

问题：直观想象中，平面截正方体的截面可以是三角形，矩形，那么会有别的形状吗？能不能截出任意所想的形状？这我们不禁要问：平面截正方体所得截面有哪些形状？

【教师点拨】由公理3，过正方体表面已知三点,确定一个平面，平面截正方体的截面形状的不同是由平面与正方体位置的不同而引起的，而这个位置的不同实质是由所给的点的不同所去引发的．为了讨论方便，我们固定引例中的两点，变动点的位置，看看可以截出哪些形状的截面．变动点的位置的过程就相当于平面绕着直线在旋转．

 

三． 问题探究，掌握作法

【教师提问】点在棱上变动时，截面都是三角形，那么再怎么移动，截面形状会发生改变？

【预设学生回答】点在平面上．

探究1：如图3，已知正方体，，，，作出由点确定的平面截正方体所得截面．

           图3

【解答】

解答1：联结，过点作直线的平行线交于点，联结，则四边形为所求截面，如图4．

【教师提问】为什么作直线的平行线？

【预设学生回答】因为正方体中，平面平面，所以平面截这两个平面所得交线平行．

【教师点拨】这个四边形会是空间四边形吗？为什么？一定是什么平面图形？

【预设学生回答】不会，因为，所以由一组平行线确定一个平面可知，这个四边形是平面图形，且是一个梯形．

【教师提问】当点在运动的过程中，还会产生什么形状的截面？

【预设学生回答】当垂直于时，还会产生矩形．

 

解答2：如图5，联结并延长，延长，直线与直线交于点，联结交于点，则梯形为所求截面．

【教师提问】为什么延长和？

【预设学生回答1】交线是直线，延长是为了寻找几何直观．直观感受，当点在上时，引例中的那个点跑到了的延长线上，只要找到这个点，就可以转化到引例的情况了．这就是点，为了找到点，延长了．

【预设学生回答2】延长与平面有交点，该点正好与点共处一个表面．

【教师点拨】点联系起了直线和点的所处平面．作截面需要找到平面与正方体各表面的交线，要作出交线就需要找同一表面上的两点，延长，交直线于点，这个点就是与点处于同表面的点．

【教师提问】这个点处在什么特殊的位置上？

【预设学生回答】点既在平面上，又在平面上．

【教师点拨】这个点不但在前表面上，也在左表面上，而左表面正是点所处的表面，为了找到这个点，我们延长了．在用这种方法作截面时，就需要这种特殊位置的点，从而能够将作图表面转换至另一个点所处的表面，而这个负责转换的点一定在这两个表面的公共棱上．

          

探究2：如图6，已知正方体，，，，作出由点确定的平面截正方体所得截面．

           图6

【解答】如图7，联结，并延长，交的延长线于点，联结，交于点．

分别延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，联结分别交于点，联结，平面六边形为所求截面．

【教师提问】你的想法？

【预设学生回答】先找到点将下表面转换到点所处的右表面．直观感觉平面会与有交点，这两个交点都在后表面，所以延长，找到关键的点，从而找到了同一表面上的两点．

 

 

【备注】如果此探究有困难，可先跳过，先对探究3进行讨论．若有学生有一些不完整的想法，可一同讨论解决这个探究问题．

 

 

 

 

 

 

探究3：如图8，已知正方体，，，，作出由点确定的平面截正方体所得截面．

            图8

【解答】如图9，联结，并延长，交的延长线于点，联结，交于点．

延长交的延长线于点，联结交于点，平面五边形为所求截面．

【教师提问】你的想法？

【预设学生回答】直观感觉平面会与有交点，为了找到这两个点的位置，就要延长，找到关键的点，因为点与点共处于右表面，点与点共处于后表面．

【教师提问】通过探究，平面截正方体所得截面的形状有哪些？

【预设学生回答】三角形、平面四边形、平面五边形、平面六边形．

【微视频演示】通过微视频将由点的不用位置，引起的截面形状从三角形、平面四边形、平面六边形、平面五边形的变化过程到展现出来．

【教师提问】会不会有平面七边形、平面八边形？为什么？

【预设学生回答】正方体最多六个表面，由截面定义不会出现边数多于平面六边形的情况．

【备注】若课堂时间不足时，可提出问题让学生课后思考．

 

【教师提问】结合引例和探究，简单说出作平面截正方体的截面的作法．

【预设学生回答】

第一步：联结同一表面上的两个点；

第二步：找另一点所在平面；

第三步：延长连线段、公共棱，联结交点和另一个所给点；

第四步：找到所有与棱的交点，围成一个封闭图形．

以上过程可能重复操作，直至找全平面与正方体的全部交线．

 

【教师提问】作平面截正方体的截面的几个关键想法是什么？

【学生总结】作截面——找平面与正方体各表面的交线——找处于同一表面上的两点．其中可能会延长公共棱．

 

 

 

四． 问题迁移，领悟内涵

【教师点拨】之前我们一起找到了作平面截正方体的截面的几个关键点，这实际上也是作平面截其余多面体的截面的几个关键点．

练习1：如图10，已知三棱柱, ，作由所确定的平面截长方体所得的截面．

        图10

【解答】如图11．

 

练习2：如图12，已知四面体，，，，作由所确定的平面截长方体所得的截面．

              图12

【解答】如图13．

 

五． 课堂小结，总结提升

1. 平面截多面体的截面的概念；

2. 作平面截多面体截面的基本做法．

【教师点拨】通过探究，发现了作截面的几个关键点：作截面——找平面与正方体各表面的交线——找处于同一表面上的两点．同时发现这几个关键点也适用于作平面截其余多面体的截面．

 

【课后思考】已知平面过正方体的中心，那么平面截正方体可能会得到哪些形状的截面？

答案：矩形、平面六边形、菱形、正方形．

 

六． 课后作业，巩固反馈

1. 如图14，已知正方体，，，作由所确定的平面截长方体所得的截面．

            

图14

2. 如图15，已知正方体，，，，作由所确定的平面截长方体所得的截面．

图15

3. 如图16，已知三棱柱, 作由所确定的平面截长方体所得的截面．

         图16

4. 如图17，已知四面体，，，，作由所确定的平面截长方体所得的截面．

          图17

5. 【拓展】如图18，已知正方体，，，，

(1) 作出直线与平面的交点；

(2) 作由所确定的平面截长方体所得的截面．

图18

 

【解答】

1. 如图19．

      

              

  图19                                                图20

2. 如图20．

3. 如图21．

             

                    

图21                                                  图22

4. 如图22．

5. (1) 如图23-1．

  

  图23-1

作图说明：作，则共面，所以，且有交点．

由于，所以．

(2) 如图23-2．

   

              图23-2

板书设计

教学反思

1. 各教学环节反思

1.1 问题引入，形成概念

在引例中，提出作交线问题．在实际教学中，学生能作出平面与正方体的交线，但学生不熟悉如何使用公理进行理论说明．在说明是平面与平面的交线时，学生潜意识里知道要证明是交线，只需要证明两点在平面上，但却忽略了需要证明这两个点同时在平面与平面这两个平面上．我想原因在于学生没有想到要证明“交线”中这个“交”字，即要证明交线是两个平面的公共部分这个关键点．在这显示出学生有几何直观，但要继续加强理论说理．

通过微视频的展示，如图24，学生可以直观看见平面将正方体分割成哪两个几何体，联系现实中切物体这个模型，顺势引入平面截多面体截面的概念，并铺垫了割补法的思想．

1.2 问题设计，引发兴趣

在这一部分，与预设一样，当我提出这一问题时，学生开始陷入思考，也有些不知所措．因为学生知道平面截正方体所得截面的形状与平面的位置、切入角度有关，但平面截正方体的位置情况有无数种，所以学生找不到分类依据和一条研究线索．这样就开始引发学生探究的兴趣．这时，经过教师适当点拨，学生能感觉到平面变化的实质是点在变化，于是只要固定两个点，变动另一个点的位置即可，为研究问题理顺线索．

1.3 问题探究，掌握作法

通过PPT的展示，学生能感受到点在棱上变动时，截面是三角形．这时学生能感觉到点的变动引发平面的不同是有规律可寻的．于是学生能想到当点移动到平面上时，截面的形状不是三角形，这样就展开了探究1．

探究1中，学生能隐约感觉到作截面的关键在于找交线、找交线的关键在于找交线上的两点这一思路，所以开始思考找点，从而才能找到平面与正方体左表面的交线．于是学生很自然地想到延长与，说出了解答2的操作过程，指出了要去找与点共表面的点这个关键的点（如预设学生回答1），为后续的探究做好了准备．

但遗憾的是，我预设的解答1并没有出现，我想原因在于学生对平面与平面平行的性质定理不熟．所以我将这个问题放在解答2中，询问如“写四边形为所求截面精确吗？”、“这个平面四边形具体是什么形状？为什么？”等一系列问题，以此为契机，让学生复习回顾平面与平面平行的性质定理，再次体现之前所学知识的综合应用．

在探究2中，如同预设，一些学生确实是延长了，然后操作不下去了，正当我准备跳过这一情况开始下一个探究时，有学生自告奋勇地说出了延长，于是我开始与学生一同探究讨论延长的目的，启发思路．此探究情况的难点在于要延长三条棱，需要找到三个关键点，转换三次表面，从而找到交线．此处依旧贯彻需要找到两个处于同一表面上的两点这一核心想法．在探究1，探究2的基础上，学生便能轻而易举地解决探究3，并能说出作图过程和想法，说明学生能够将问题进行化归．

完成三个探究后，学生就能以运动的观点审视并回答最初提出的问题——平面截正方体可以得到哪些形状的截面．之后通过微视频展现截面变化的动态过程，加深了学生对点的变化引发截面形状的不同理解，如图25-1，25-2，25-3，25-4．其中，学生能够想象出当平面时，截面是一个矩形．

                      图25-1                          图25-2

                      图25-3                          图25-4

那么之后就很自然地会想到，平面截正方体截面会不会出现平面七边形、平面八边形等情况，学生直观感知说不会，这时应该继续追问下去，但是可惜课堂时间有限，未能让学生结合定义充分思考．

在总结截面作法时，通过相互讨论，学生基本能说出我所预设的大致内容．

1.4 问题迁移，领悟内涵

在练习环节中，我给出了三棱柱和四面体两个不是正方体的多面体，看看学生能否将作法迁移．通过练习，发现学生大致能够将平面截正方体截面的作法迁移至平面截其余多面体截面的作法，完成了预设目标．

1.5 课堂小结，总结提升

在练习的基础上，学生能发现作平面截多面体截面与作平面截正方体截面的作图关键点是一致的，从而掌握作法，完成提升．最后，反思以运动变化的观点探究截面形状的不同，抛出课后思考问题——过正方体中心的平面截正方体可以得到哪些形状的截面，便是水到渠成，让学生留有余味．

 

2. 亮点部分

2.1 以一个问题统领课堂

本课时的重点内容在于学生需要掌握作平面截多面体的截面，是一节操作课，那么如何有序地开展教学是一个问题． 我设计以运动与变化的观点统领课堂，以核心问题“平面截正方体的截面有哪些形状”为线索，串起了课堂所有的探究问题．学生在问题探索中，边学边做边思考，激起学习兴趣．

在教学过程中，发现部分学生在感悟到了运动与变化的思想之后，就能将这一过程看成平面绕着直线旋转的过程，从而预估到接着应该探究的点位置，自主形成了一条探究线索，理顺了探究思路；部分同学在探究过程中隐约感受到这种变化的存在，但具体需要教师点拨．

在下课后，有一些同学确实以运动变化的观点开始思考课后思考题，开始尝试将平面绕着过正方体中心的某条直线旋转开展探究．有的同学以作为旋转轴，有的以作为旋转轴（如图26），饶有兴趣．             

2.2 以一个思想贯穿始终

在教学中，始终贯彻作截面—找交线—找同一表面上的两个点这一思想，引导学生掌握在变化中不变的核心内容．在对引例、探究1、2的研究后，学生已经能隐约感知基本的作图方法，知道需要去找一个于已知点（或者已作点）处于同一表面上的点，从而顺利完成探究3、两个练习以及能在总结作法中说出大致内容，并以此迁移至三棱柱、四面体等其余多面体，继续建立空间感．

2.3 以学生为学习主体

学生是学习的主体，所以课堂要使学生真正参与进来．本节课中，鼓励让学生说出想法，如在说明“是是平面与平面的交线”时，学生在说出了两点在平面上就直接说是是平面与平面的交线，这时我适当引导，使学生说出还要证明两点需要在平面上，而不是直接将答案告知．

又如，最后学生大致说出了作截面的方法后，将“找另一个点所处表面”与“延长公共棱”两个逻辑关系顺序弄反了，我先将学生的思路写在黑板上，再通过追问“为什么要延长棱？”让学生知道需要先找另一个所处表面，完善方法．

这些都体现了学生是学习的主体，学生在自主操作作图中，在相互探讨中，逐步内化理解，找到关键思想，最终概括提炼出方法，能大致说出我所预设的内容．

2.4 以截面为载体综合应用已学知识

本节课通过“能否说出作图的理论依据？”、“点可以在哪个位置时截面形状会变化？”、“能不能写四边形？是什么平面四边形？为什么？”、“作截面的关键思想是什么？”、“平面截多面体的截面会不会是平面七边形？平面八边形？为什么？”等问题层层深入，让学生解决问题的同时，能更近一步思考，且回答问题的关键都是之前已经学习过或者是本节课前半节课的学习内容（公理1和公理2、平面与平面平行的性质定理、截面的定义等），这样就以截面为载体，体现了已学知识的综合应用．

2.5 以多媒体技术辅助教学

在引例的追问“平面将正方体分割为怎么样的两个多面体”的探究以及回顾问题“平面截多面体的截面有哪些形状”，我借助了iCrosss Lite 和拍大师两款APP制作微视频辅助教学，学生通过视频中的直观展示加深了对截面的认识．前者在视频中分割了正方体后又合并，使学生直观说出了平面将正方体分割为四面体和七面体两个多面体，利用“分割、切”这些动词，突出“截”的意义，自然引入截面的定义，也为之后体积教学中的割补法埋下伏笔；后者加深了学生对运动与变化观点的认识，为研究课后思考和之后旋转体的教学埋下铺垫．

 

3. 不足部分及改进

3.1 过于依赖PPT

我将点的移动和三个探究的作图过程都以PPT的形式呈现，虽然节省了教学时间，但也减少了学生的思考理解时间．并且PPT以单页播放各种情况，资质一般的学生没能综合地思考问题，要花更多的时间去理解过程，一定程度上影响了教学的效果．

改进：实际上，我可以在黑板上按照学生的作法一步一步操作，并将四种情况（引例和探究1,2,3）并排放在一起，让学生能够综合地看待问题，使学生能更快感知变化的过程，在脑海中形成动态的影像．

3.1 内容过于充足

由于内容选取丰富，为了能够讲完内容，有些需要驻足静心思考的内容没有给足时间．

(1) 在探究1完成后，可以回顾它与引例的关系，让学生看到探究1的变化本质是点沿着方向延生到了的延长线上，变为了点，因此从延展的图形上看依旧是一个三角形（如预设学生回答1），这样去找点成了必然，体现了转化与化归的思想．这样，当学生在探究2遇到问题的时候，可能会先去思考探究3，然后再处理探究2．这样也能在完成探究后，顺势引出作截面的“平行线法”．

(2) 在探究2中，当同学说出“延长交于一点”并分析完后，应该继续让学生思考“然后需要怎么作图？为什么？”，以让学生自行感觉“延长交于一点”这一步的目的和作用。

(3) 在回答探究问题后的追问“平面截多面体的截面会不会是平面七边形？平面八边形？为什么？”，学生只是从直观上感知没有，由于时间不足，没有让学生继续思考下去．实际上这个问题能产生对截面定义进行回顾的效果，可以让学生明白数学问题的思考要回归定义本身．这里错失了一个思考点．

改进：可不用询问作截面的大致作法，因为这只是课本展示的“交线法”，其实还有“平行线法”、“垂线法”等方法，只需要知道作图的关键思想即可．这样就能将时间分配给上述思考点，让学生静静地思考，提高思维品质．

3.2 录课时过于紧张

在录课时，过于紧张，导致有一些问题去忘了仔细分析，导致没有分析到位，具体如下．

(1) 引例中，需要追问学生“为什么两点在平面与平面这两个平面上，就能说明直线是交线？”这样就能让学生知道证明交线的关键在于证明这条直线是两个平面的公共部分，从而只要证明这两个平面有两个公共点即可．突显公理1和公理2的作用．

(2) 在说探究思路的时候，指出要固定，移动点，讨论平面的变化．但后面需要跟一句“可以将平面看做在按照直线在旋转”，我将这句放在了探究1完成之后了．

(3) 在探究1中没有指出需要注意作图中的实线虚线，导致最后学生上黑板练习时，学生确实将线的虚实画错．

(4) 探究1中，在说明点的作用是连接所处表面和点所处表面后，需要及时加一句“点必在这两个表面的公共棱上”，这样学生就能知道需要延长公共棱．不过，在总结时，发现学生是能回答出是要延长公共棱的．

(5) 在探究2中，我询问了“为什么要找到即在后表面又在左表面上的点”后，仅与学生一同回答了“为什么要找后表面”，忘记回答“为什么要找左表面”，实际上这个答案就使学生能够有意识地去寻找第三个点所处表面，为总结作法打下铺垫．不过，在总结时，学生能够在我的点拨下说出需要找第三个点所处表面．

(6) 板书的“关键”部分忘记按设计呈现，导致之后学生练习的作图版面不够．

改进：摆正心态，适度放松，让自己真正沉浸在课堂的氛围中．在平时教学中加强自己教学的艺术，继续练习．

教师评价

王桂杰：课堂的问题设计很好，以一个探究问题展开例题的说明，以一个关键思想突出方法，让基础好的同学理解思想，让基础一般的同学掌握方法．就是上课时太过于紧张．

邱慧芬：探究围绕着一个核心问题展开，使几个问题呈现出整体感．两个微视频的展示也能继续帮助学生建立空间感和运动与变化的感觉．就是该驻足留意的地方就要停下思考，不要过于赶教案．

多面体的直观图 第三课时.pdf